Доказ наявності місць, де симетрії не можуть існувати

Великим математичним досягненням стало доказ гіпотези Циммера, знайдене невеликою командою дослідників


У решіток у вищих вимірах симетрії не завжди можна перенести в вимірювання нижче рангом

Успіх Роберта Циммера можна визначити по-різному. В якості президента Чиказького університету з 2006 року він потрапив у заголовки газет, знаходячи дев’ятизначні суми для фінансування та публікуючи статті в підтримку свободи слова на кампусі. Але до того, як стати президентом університету, він був математиком. І через багато часу після того, як він залишив серйозні дослідження, запущений їм дослідний план, нарешті, дає свої результати.

Рік тому три математика довели гіпотезу Циммера, пов’язану з обставинами, при яких геометричні простору мають симетріями певного типу. Їх доказ стало одним з найбільших математичних досягнень в останні роки. Воно ставить крапку в питанні, вставшем перед Циммером в період його інтенсивної розумової діяльності в кінці 1970-х і початку 1980-х.

«Я б сказав, що років п’ять лягав спати з думками про завдання, кожну ніч, так що я був одержимий, і здорово спостерігати, як люди її вирішили», — сказав Циммер.

Зазвичай, чим більше у геометричного простору вимірювань, тим більше в ньому може бути симетрій. Це можна уявити, вивчаючи окружність, існуючу на двовимірній площині, і куля, що тягнеться в три виміри: способів обертання кулі існує більше, ніж способів обертання кола. Додаткові вимірювання кулі створюють додаткові симетрії.

Гіпотеза Циммера відноситься до симметриям особливого виду, відомим, як высокоранговые решітки. Вона задає питання, чи обмежує вимірювання геометричного простору застосування симетрій цього типу. Автори нової роботи – Аарон Браун і Себастьян Хуртадо-Салазар із Чиказького університету і Девід Фішер з Університету Індіани –показали, що при кількості вимірювань менше певного особливих симетрій не спостерігається. Таким чином, вони довели правильність гіпотези Циммера.


Роберт Циммер, нині президент Чиказького університету, розробив гіпотезу, названу в його честь, майже 40 років тому

Їх робота відповідає на один важливий і давно висів питання, відкриваючи нові способи дослідження безлічі інших. Вона також відкриває внутрішні властивості геометричних просторів. Симетрія – одне з найбільш простих властивостей таких просторів. У новій роботі йдеться, що симетрії можуть існувати в просторах одного типу, і не можуть – в інших. Це досягнення було отримано після десятиліть простою.

«Гіпотеза виглядала так, ніби здатна зайняти людей на дуже довгий час», — сказав Еймі Вілкінсон, математик із Чиказького університету, організував в цьому році конференцію, присвячену цьому доказу. «І вони відносно просто знищили це питання».

Задовольняючи симметриям

Симетрія – одна з перших геометричних понять, з якої діти стикаються у математиці. Власноруч вони дізнаються, що можна повернути, перевернути і зрушувати форму, і в результаті отримати ту ж саму форму, з якої почали. Збереження форми об’єкта в результаті змін висловлюється певним внутрішнім задоволенням – це натяк на наявність більш глибокого порядку у Всесвіті.

Читайте також  Full disclosure: 0day-уразливість втечі з VirtualBox

У математиків є свій формальний мову для вивчення симетрії. Він дає їм можливість в стислих термінах міркувати про різних симметриях, застосовних в заданому геометричному просторі.

У квадрата, приміром, є вісім симетрій – вісім способів перевернути або повернути його, знову отримавши квадрат. Окружність ж можна повернути на будь-яку кількість градусів; у неї нескінченну кількість симетрій. Математики збирають всі симетрії даного геометричного об’єкта, або простору, і упаковують їх в «групу».

Групи цікаві самі по собі. Вони часто з’являються в результаті вивчення певних геометричних просторах, а іноді з’являються і в зовсім не пов’язане з геометрією контексті. Наприклад, групи можуть формувати числові множини (наприклад, є певна симетрія в тому, щоб додати 5 або відняти 5 від числа).

«Група, в принципі, може з’явитися як симетрія абсолютно різних речей», — сказав Циммер.

Існують і більш екзотичні види симетрії, ніж ті, що ми вивчаємо в школі. Розглянемо, наприклад, симетрію решіток. Найпростіша решітка – це двовимірна сітка. На площині грати можна зрушувати вгору, вниз, вліво, вправо на будь-яку кількість квадратів, і отримати сітку, яка виглядає точно так само, як початкова. Також можна відображати ґрати через будь-яку кількість окремих клітинок. Простору за решітками мають нескінченною кількістю різних симетрій решіток.

Грати можуть існувати в будь-якій кількості вимірювань. У тривимірному просторі решітка може складатися з кубів, а не з квадратів. У чотирьох і більше вимірах уявити грати вже не вийде, але працює вона точно так само; математики можуть описати її абсолютно точно. Цікавлять гіпотезу Циммера групи включають в себе решітки «вищого рангу», або грати в певних просторах вищих вимірів. «Ця дивна решітка була б дуже гарною, якби її можна було побачити, нехай мені це не дано, — сказав Хуртадо-Салазар. – Мені здається, що дивитися на неї було б дуже приємно».

Читайте також  Для чого хакерам Микротик і як я сховав 100 тис. RouterOS від ботнету

У XX-му столітті математики виявили ці групи в різних умовах – не тільки в геометрії, але і в теорії чисел, логіки та інформатики. Відкриваючи нові групи, логічно поставити питання – якого роду простору володіють такими наборами симетрій?

Іноді групи очевидно неможливо зіставити простору. Можна досить швидко зрозуміти, що групу симетрій окружності не можна застосувати до квадрату. Поверніть квадрат на 10 градусів, і ви не отримаєте вихідний квадрат. Але суміш групи з нескінченною кількістю симетрій і простору з багатьма вимірами ускладнює визначення застосовності групи.

«При переході до більш складним група в більшій кількості вимірювань, — сказав Ціммер, — ці питання сильно ускладнюються».

Непрямий зв’язок

Представляючи собі симетрію, ми представляємо обертання цілком форми – наприклад, квадрат, повернений на 90 градусів. Але на базовому рівні симетрія залежить від рухомих точок. Симетричне перетворення простору означає, що потрібно взяти кожну його точку і пересунути в якусь іншу точку. У цьому сенсі поворот квадрата на 90 градусів насправді означає, що треба взяти кожну точку квадрата, і повернути її на 90 градусів так, щоб вона виявилася не на тому ребрі, з якого початку.


Девід Фішер

Завдання пересування точок можна вирішити більш або менш суворо. Найбільш знайомі нам симетричні перетворення – відображення квадрата щодо діагоналі або поворот його на 90 градусів – дуже суворі. Суворі в тому сенсі, що вони не переплутує точки. Точки, що були до відображення вершинами, залишаються вершинами і після (вони просто стають іншими вершинами), а точки, які складали прямі ребра, після відбиття все ще становлять прямі ребра (просто інші).

Є менш суворі, більш гнучкі види симетричних перетворень, і саме вони цікаві в контексті гіпотези Циммера. В таких перетвореннях точки сильніше змінюють свою організацію; вони не обов’язково зберігають свої колишні зв’язки один з одним після трансформації. Наприклад, можна зрушити кожну точку квадрата на три одиниці довжини по периметру квадрата – це відповідає базовим вимогам симетричного перетворення, тобто, просто зсуву кожної точки в просторі на інше місце. Аарон Браун, співавтор докази, описав, як ці, більш вільні види перетворень, могли б виглядати в контексті м’яча.

«Можна взяти північний і південний полюси і перекрутити їх у протилежних напрямках. Тоді відстані між точками збільшаться», — сказав Браун.

У разі сітки, замість простого зсуву її по площині, ви можете викривити її, розтягнути в одних місцях і стиснути в інших, так, що перетворена сітка вже не накладається на вихідну. Такі перетворення менш суворі, і називаються диффеоморфизмами.

Читайте також  Глава Apple заявив, що китайські шпигунські чіпи в серверах Supermicro — вигадка

У Циммера були поважні причини використовувати цю, менш сувору версію симетрії у своїй гіпотезі. Особливі решітки вищого рангу, що мають відношення до цієї гіпотези, вперше вивчав у 1960-х Григорій Олександрович Маргуліс, який отримав за свою роботу Филдсовскую премію. Маргуліс склав повний опис того, простору якого роду можна перетворювати за допомогою цих решіток вищого рангу, якщо дозволити тільки суворі перетворення.

Гіпотеза Циммера стала природним продовженням роботи Маргуліса. Вона починається зі списку просторів, на яких можуть працювати решітки вищого рангу – цей список виявив Маргуліс – і питає, розширюється чи цей лист, якщо дозволити гратам менш суворі трансформації.

У новій роботі три математика довели, що ослаблення визначення симетрії не змінює область застосування симетрій решіток вищого рангу. Навіть якщо дозволити гратам дуже нерегулярні перетворення – зсуватися, згинатися, розтягуватися – решітки все одно мають жорстке обмеження області дії.

«Після додавання такої гнучкості в умову задачі, інтуїтивно, звичайно, здається, що решітки зможуть діяти ширше. Тому виявляється дивним, що насправді відповідь буде „ні“ – в деяких випадках не можуть», — сказав Фішер.

Математики встановили точні відповідності між розмірністю простору і розмірністю, або рангом, решіток, для решіток, здатних грати роль симетрії в даному просторі. В цілому вони показали, що чим вище ранг решітки, тим більше вимірювання треба простору, здатного її вмістити. Навіть маючи значну гнучкість у справі перетворення простору, перетворення високорангових решіток обмежені вищими вимірами.

«Це говорить про те, що існує щось вельми фундаментальне в будові просторів, з чого випливає можливість їх вміщати подібні перетворення», — сказав Уілкінсон.

Гіпотеза Циммера – всього лише перший крок до більш великої програмі. Розібравшись з нею, співавтори роботи наклали грубе обмеження простору, в яких можна перетворювати высокоранговые решітки. Наступної, більш амбітної фазою роботи буде концентрація на тих просторах, в яких можуть існувати решітки – а потім і класифікація всіх різних способів перетворення гратами цих просторів.

«У підсумку програма повинна зуміти класифікувати всі ці способи. Є багато цікавих питань за межами простого встановлення факту існування певних місць, в яких решітки не можуть діяти», — сказав Циммер.

Степан Лютий

Обожнюю технології в сучасному світі. Хоча частенько і замислююся над тим, як далеко вони нас заведуть. Не те, щоб я прям і знаюся на ядрах, пікселях, коллайдерах і інших парсеках. Просто приходжу в захват від того, що може в творчому пориві вигадати людський розум.

You may also like...

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *