Принцип найменшої дії. Частина 1

Коли я вперше дізнався про це принципі, у мене виникло відчуття якоїсь містики. Таке враження, що природа таємничим чином перебирає всі можливі шляхи руху системи і вибирає з них найкращий.

Сьогодні я хочу трохи розповісти про одному із самих чудових фізичних принципів – принцип найменшої дії.

Передісторія

З часів Галілея було відомо, що тіла, на які не діють ніякі сили, рухаються по прямих лініях, тобто по найкоротшому шляху. По прямих лініях поширюються і світлові промені.

При відображенні світло також рухається таким чином, щоб дістатися з однієї точки в іншу найкоротшим шляхом. На картинці найкоротшим буде зелений шлях, при якому кут падіння дорівнює куту відображення. Будь-який інший шлях, наприклад, червоний, виявиться довшим.

Це неважко довести, просто відобразив шляху променів на протилежну сторону від дзеркала. На картинці вони показані пунктиром.

Видно, що зелений шлях ACB перетворюється в пряму ACB’. А червоний шлях перетворюється у изломанную лінію ADB’, яка, звичайно довший зеленої.

У 1662 П’єр Ферма припустив, що швидкість світла в щільному речовині, наприклад, в склі, менше, ніж у повітрі. До цього загальноприйнятою була версія Декарта, згідно з якою швидкість світла в речовині має бути більше, ніж в повітрі, щоб виходив правильний закон заломлення. Для Ферма припущення, що світло може рухатися в більш щільному середовищі швидше, ніж в розрідженій здавалося протиприродним. Тому він припустив, що все в точності навпаки і довів дивовижну річ – при такому припущенні світло заломлюється так, щоб досягти місця призначення за мінімальний час.

На малюнку знову, зеленим кольором показаний шлях, яким насправді рухається світловий промінь. Шлях, відзначений червоним кольором, є найкоротшим, але не самим швидким, тому що світла доводиться більший шлях проходити в склі, а в ньому його швидкість менше. Найбільш швидким є саме реальний шлях проходження світлового променя.

Всі ці факти наводили на думку, що природа діє якимось раціональним чином, світло і тіла рухаються найбільш оптимально, затрачаючи якнайменше зусиль. Але що це за зусилля, і як їх порахувати залишалося загадкою.

У 1744 Мопертюї вводить поняття «дії» і формулює принцип, згідно з яким справжня траєкторія частинки відрізняється від будь-якої іншої тим, що дія для неї є мінімальним. Однак сам Мопертюї, так і не зміг дати чіткого визначення чому одно це дія. Строга математична формулювання принципу найменшої дії була розроблена вже іншими математиками – Ейлером, Лагранжем, і остаточно була дана Вільямом Гамільтоном:

На математичному мові принцип найменшої дії формулюється досить коротко, проте не для всіх читачів може бути зрозумілий сенс використовуваних позначень. Я хочу спробувати пояснити цей принцип більш наочно і простими словами.

Вільне тіло

Отже, уявіть, що ви сидите в машині в точці і в момент часу вам дана проста задача: до моменту часу вам потрібно доїхати на машині до точки .

Паливо для машини дорого коштує і, звичайно, вам хочеться витратити його як можна менше. Машина у вас зроблена за новітніми супер-технологій і може розганятися або гальмувати як завгодно швидко. Однак, вона влаштована так, що чим швидше вона їде, тим більше споживає палива. Причому споживання палива пропорційно квадрату швидкості. Якщо ви їдете в два рази швидше, то за той же проміжок часу споживаєте в 4 рази більше палива. Крім швидкості, на споживання палива, звичайно ж впливає і маса автомобіля. Чим важче наш автомобіль, тим більше він споживає палива. У нашого автомобіля споживання палива в кожен момент часу дорівнює , тобто в точності дорівнює кінетичної енергії автомобіля.

Так як же потрібно їхати, щоб дістатися до пункту до точно призначений час і витратити палива як можна менше? Ясно, що потрібно їхати по прямій. При збільшенні проезжаемого відстані палива витратиться точно не менше. А далі можна обрати різні тактики. Наприклад, можна швидко приїхати в пункт заздалегідь і просто посидіти, почекати, коли настане час . Швидкість їзди, а значить і споживання палива в кожен момент часу при цьому вийде великий, але адже і час їзди скоротиться. Можливо, загальний витрата палива при цьому буде не так вже й великий. Чи можна їхати рівномірно, з однією і тією ж швидкістю, такий, щоб, не поспішаючи, точно приїхати в момент часу . Або частину шляху проїхати швидко, а частина повільніше. Як же краще їхати?

Виявляється, що найбільш оптимальний, найбільш економний спосіб їзди – це їхати з постійною швидкістю, такий, щоб опинитися в пункті в точно призначений час . При будь-якому іншому варіанті палива витратиться більше. Можете самі перевірити на кількох прикладах. Причина в тому, що споживання палива зростає пропорційно квадрату швидкості. Тому при збільшенні швидкості споживання палива зростає швидше, ніж скорочується час їзди, і загальний витрата палива також зростає.

Отже, ми з’ясували, що якщо автомобіль в кожен момент часу споживає паливо пропорційно своєї кінетичної енергії, то самий економний спосіб дістатися з точки в точку до точно призначеного часу – це їхати рівномірно і прямолінійно, точно так, як рухається тіло в відсутність діючих на нього сил. Будь-який інший спосіб руху призведе до більшого загальним витратам палива.

В полі тяжіння

Тепер давайте трохи вдосконалимо наш автомобіль. Давайте приробимо до нього реактивні двигуни, щоб він міг вільно літати в будь-якому напрямку. В цілому конструкція залишилася тією ж, тому витрата палива знову залишився суворо пропорційний кінетичної енергії автомобіля. Якщо тепер дано завдання вилетіти з точки в момент часу і прилетіти в точку до моменту часу , то найбільш економічний спосіб, як і раніше, звичайно, буде летіти рівномірно і прямолінійно, щоб опинитися в точці в точно призначений час . Це знову відповідає вільному руху тіла в тривимірному просторі.

Однак, в останню модель автомобіля встановили незвичайний апарат. Даний апарат вміє виробляти паливо буквально з нічого. Але конструкція така, що чим вище знаходиться автомобіль, тим більше палива в кожен момент часу виробляє апарат. Вироблення палива прямо пропорційна висоті , на якій в даний момент знаходиться автомобіль. Також, чим важче автомобіль, тим більш потужний апарат на ньому встановлений і тим більше палива він виробляє, і вироблення прямо пропорційна масі автомобіля . Апарат вийшов таким, що вироблення палива точно дорівнює (де – прискорення вільного падіння), тобто потенційної енергії автомобіля.

Споживання палива в кожен момент часу виходить рівним кінетичної енергії мінус потенційної енергії автомобіля (мінус потенційної енергії, тому що встановлений апарат виробляє паливо, а не витрачає). Тепер наше завдання найбільш економного руху автомобіля між пунктами і стає складніше. Прямолінійний рівномірний рух виявляється в даному разі не найефективнішим. Виявляється, більш оптимально — трохи набрати висоти, якийсь час там затриматися, виробивши більше палива, а потім вже спуститися в точку . При правильній траєкторії польоту загальна вироблення палива за рахунок набору висоти перекриє додаткові витрати палива на збільшення довжини шляху і збільшення швидкості. Якщо акуратно порахувати, то найбільш економним способом для автомобіля буде летіти по параболі, точно по такій траєкторії і з такою швидкістю, з якою летів би камінь у поле тяжіння Землі.

Тут варто зробити роз’яснення. Звичайно, можна з точки кинути камінь багатьма різними способами так, щоб він потрапив в точку . Але кидати його потрібно так, щоб він, вилетівши з точки в момент часу , потрапив в точку точно в момент часу . Саме цей рух буде самим економним для нашого автомобіля.

Функція Лагранжа та принцип найменшої дії

Тепер ми можемо перенести цю аналогію на реальні фізичні тіла. Аналог інтенсивності споживання палива для тіл називають функцією Лагранжа або Лагранжіаном (в честь Лагранжа) і позначають буквою . Лагранжіан показує наскільки багато «палива» споживає тіло в даний момент часу. Для тіла, що рухається в потенційному полі, Лагранжіан дорівнює його кінетичній енергії мінус потенційної енергії.

Аналог загальної кількості витраченого палива за весь час руху, тобто значення Лагранжіану, накопичене за весь час руху, називається «дією».

Принцип найменшої дії полягає в тому, що тіло рухається таким чином, щоб дія (яке залежить від траєкторії руху) було мінімальним. При цьому не потрібно забувати, що задані початкове і кінцеве умови, тобто де тіло знаходиться в момент часу і в момент часу .

При цьому тіло не обов’язково повинно рухатися в однорідному полі тяжіння, яке ми розглядали для нашого автомобіля. Можна розглядати зовсім інші ситуації. Тіло може коливатися на резинці, розгойдуватися на маятнику або літати навколо Сонця, у всіх цих випадках воно рухається так, щоб мінімізувати «загальний витрата палива» тобто дія.

Якщо система складається з декількох тіл, то Лагранжіан такої системи буде дорівнює сумарної кінетичної енергії всіх тіл мінус сумарної потенційної енергії всіх тел. І знову всі тіла будуть узгоджено рухатися так, щоб дія всієї системи при такому русі було мінімальним.

Не все так просто

Насправді я трохи обдурив, сказавши, що тіла завжди рухаються так, щоб мінімізувати дію. Хоча в багатьох випадках це дійсно так, можна придумати ситуації, в яких дія явно не мінімально.

Наприклад, візьмемо кульку і помістимо його в порожній простір. На деякому віддаленні від нього поставимо пружну стінку. Припустимо, ми хочемо, щоб через деякий час кулька опинився в тому ж самому місці. При таких заданих умовах кулька може рухатися двома різними способами. По-перше, він може просто залишатися на місці. По-друге, можна штовхнути його у напрямку до стінки. Кулька долетить до стінки, відскочить від неї і повернеться назад. Зрозуміло, що можна штовхнути його з такою швидкістю, щоб він повернувся в потрібний час.

Обидва варіанти руху кульки можливі, але дія в другому випадку вийде більше, тому що все це час кулька буде рухатися з ненульовою кінетичної енергією.

Як же врятувати принцип найменшої дії, щоб він був справедливий і в таких ситуаціях? Про це ми поговоримо наступного разу.