Розробка

Про одну задачу, яку більше не пропонують на співбесіді

В одній компанії кандидатів на вакансію програміста якийсь час пропонувалася наступна задача. Знайти значення дробу:

Для рішення даної задачі не потрібно знання природи таких дробів та області, в якій ці дроби застосовуються. Потрібно лише зауважити, що запропоноване вираз самоподобно і може бути представлено у вигляді:

А це, в свою чергу, призводить до звичайного квадратному рівнянню:

Тепер скажемо, що дані дроби мають особливу назву, це ланцюгові дроби, і вони використовуються, як одна з форм запису дійсних чисел. У розглянутому прикладі нескінченна ланцюгова дріб має найпростіше уявлення. У її запису використовуються тільки одиниці, і її довжина періоду теж дорівнює одиниці. Цікаво, що виражається нею число дуже широко представлено, і не тільки в математичному світі, і навіть має власну назву — зворотна величина для «золотого перетину». Отримаємо кілька наближень для даного числа, використовуючи його представлення через ланцюгову дріб. На першому кроці відкинемо другий доданок в знаменнику. Отримаємо , тепер запишемо наступне наближення, використовуючи отриманий результат, як другий доданок у сумі під знаком дробу Повторимо цю операцію ще раз В результаті ми отримаємо наступний ряд:

Звернемося тепер до такого поняття, як послідовність Фібоначчі. Так називаються члени числового ряду, складеного за наступним правилом. Перший і другий член ряду дорівнює одиниці, а кожний наступний дорівнює сумі двох попередніх.

Складемо ряд утворений відносинами двох сусідніх членів послідовності Фібоначчі

Чи Не правда, знайома запис? Дійсно, межа відносини двох чисел Фібоначчі виражається зворотною величиною «золотого перетину». Отримаємо цей результат.
З визначення слід, що

Введемо наступне позначення

Тоді предыдующее рівність запишеться як

В межі

Введемо позначення . Тоді ми отримаємо рівняння, яке вже наводили на початку статті.

Тепер розглянемо послідовність, у якій три перших члена дорівнюють одиниці, а кожний наступний дорівнює сумі попередніх трьох.

Знайдемо межа, до якого прагне відношення двох сусідніх членів послідовності. За визначенням

Розділимо ліву і праву частину . Тоді у використовуваних раніше позначеннях ми можемо записати:

Тепер розділимо ліву і праву частину . Отримаємо наступне співвідношення:

Позначимо

У нових позначеннях система рівнянь буде виглядати так:

Дана система приводиться до наступного рівняння:

Воно має одне дійсне рішення

Якщо розглянути низку для послідовності, у якій кожен член дорівнює сумі вже чотирьох попередніх,

то ми прийдемо до системи з трьох рівнянь:

А ця система приводиться до наступного нелінійного рівняння:

Це рівняння має два дійсних кореня. Рішенням нашої задачі буде:

Ось такі спостереження сталися завдяки одній задачі на співбесіді.

Related Articles

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Close