Розробка

Теорія щастя – Математичні основи законів підлості

Продовжую знайомити читачів  главами книжки «Теорія щастя» з підзаголовком «Математичні основи законів підлості». Це ще не видана науково-популярна книжка, дуже неформально розповідає про те, як математика дозволяє з нової ступенем усвідомленості поглянути на світ і життя людей. Вона для тих кому цікава наука і для тих, кому цікаве життя. А оскільки життя наше складна і, за великим рахунком, непередбачувана, упор в книжці робиться, в основному, на теорію ймовірностей і математичну статистику. Тут не доводяться теореми і не даються основи науки, це ні в якому разі не підручник, а те, що називається recreational science. Але саме такий майже ігровий підхід дозволяє розвинути інтуїцію, прикрасити яскравими прикладами лекції для студентів і, нарешті, пояснити нематематикам і нашим дітям, що ж такого цікавого ми знайшли в своїй сухій науці.

Опубліковані глави:

  • Закон кавунової кірки і нормальність ненормальності

Це одна з перших глав, в якій на прикладі велосипедиста розглядаються потрібні нам інструменти для вимірювання несправедливості: крива Лоренца і індекс Джині, а також згадуються горезвісний Парето і грізний інспектор.

Закон є закон

У цій книжці йтиметься про різні неприємності. Звичних, очікуваних і настільки передбачувані, що вони отримали статус законів. Їх вже сформульовано безліч: це і закон падаючого бутерброда, і закон Мерфі: “Якщо яка-небудь неприємність може статися, вона трапиться.” і закони Чизхолма на тему: “Коли справи йдуть добре, щось повинно трапитися в самому найближчому майбутньому.” і спостереження Етторе: “Сусідня черга завжди рухається швидше.” Велика їх частина цілком тривіальна, але згідно із законом Муіра “Коли ми намагаємося витягти що-небудь одне, виявляється, що воно пов’язане з усім іншим.” Ми постараємося знайти раціональне зерно цих закономірностей, але не для того, щоб з ними боротися, а для задоволення. І оскільки при цьому ми будемо використовувати математику, то задоволення буде своєрідним і корисним, на відміну від самого результату. Ну, а якщо наші міркування заведуть нас надто далеко, ми можемо взяти на озброєння постулат Персига: “Число розумних гіпотез, що пояснюють що дане явище, нескінченно.” Зрештою, Гроссман, цитуючи Г. Л. Менкина вірно вказав, що “Складні проблеми завжди мають прості, легкі для розуміння неправильні рішення.

Якісь трапляються з нами неприємності закономірні і детерміновані, а якісь носить стохастичний, імовірнісний характер.

Наприклад, якщо вам знизили на 10% зарплату, а потім вибачилися і підвищили на 10%, то в підсумку ви програли.

Більш того, якщо підвищать зарплату спочатку, а потім, навіть не вибачившись, знизять на ті ж 10%, результат вийде тим же, оскільки неважливо, в якому порядку перемножувати коефіцієнти. Це дуже просто, образливо, але до удачі відношення не має.

Інший приклад детермінованої неприємності — чари  в наших кишенях з навушниками: кладемо акуратно складені навушники в кишеню, а через півгодини там відбувається диво, і з кишені ми виймаємо дикий вузол проводів. У 2007 році вийшла серйозна наукова стаття двох вчених з сонячного і безтурботного Сан-Дієго «Спонтанне утворення вузлів на зубдженій нитці», в якій детально аналізується і моделюється заплутування навушників в кишені. Автори, базуючись на теорії вузлів, теорії ймовірностей та фізичних експериментах, переконливо показують, що при стандартному способі змотування, навушники, дійсно, повинні заплутуватися, причому, лише кілька секунд трясіння. Втім, це ми спостерігаємо, несподівана тут тільки виведена швидкість заплутування. З цією неприємністю цілком можна боротися математичним способом: потрібно поміняти спосіб складання навушників — не кільцями, яким властиво утворювати вузли, а низкою петель взаємно-зворотного напрямку, як, наприклад, показано на малюнку. При такому способі складання петлі взаємно знищують один одного і вузли не формуються. Вже багато років я складаю навушники таким чином, відчуваючи себе крутим топологом, і всякий раз радію, як фокусу, коли вони розмотуються самі від одного недбалого струшування рукою.

Один із способів складання проводів, що не призводить до їх заплутування. Він хороший ще й тим, що попутно ви складаєте пальці.

Але і серед стохастичних за своєю природою законів не всі однаково цікаві. Наприклад, закон Бука: «Ключі завжди знаходиш в останньому кишені.» не має під собою будь-якого раціонального підґрунтя. Простий підрахунок показує, що при рівній ймовірності відшукати ключі для всіх кишень, останній нічим не відрізняється від інших. Хіба що ви станете безладно перевіряти всі кишені, заглядаючи в них як попало і по кілька разів. В такому випадку, функція ймовірності для номера кишені, в якому опиняться ключі, буде для кишень описуватися реометрическим розподілом:

і очікуваний номер кишені буде дорівнює. Тобто, в якомусь сенсі, закон Бука виконується. Втім, таким чином ми шукаємо ключі, хіба тільки якщо нам дуже терміново потрібно потрапити в туалет, і тоді це вже повноцінний закон підлості.

Нас будуть цікавити закони парадоксальні і повчальні, закони, які виглядають злим фатумом, вибирають з безлічі варіантів найприкріші і неприємні, всупереч інтуїції підсказуючій, що цей вибір не повинен бути найімовірнішим.

Якщо довго, довго, довго, якщо довго по стежинці…

Я великий ентузіаст велосипедного аматорського спорту. Що може бути краще, ніж мчати по трасі рано вранці, коли ще прохолодно, скочуючись з легкого схилу… це відчуття варте того, щоб заради нього долати нескінченні підйоми або опір зустрічного вітру! Правда, іноді здається, що підйомів наче б більше, ніж спусків, а вітер намагається бути зустрічним, куди не поверни. У книгах по мерфології у зв’язку з цим наводиться закон велосипедиста:Незалежно від того, куди ви їдете, — це в гору і проти вітру. Живу я де багато гірок, і катаючись по місту, їх не минути. Однак мене повинна заспокоювати думка, що починаючи свій шлях з дому, я знову повертаюся додому, значить, сумарний спуск повинен дорівнювати сумарному підйому. Особливо чесним буде радіальний маршрут. Уявімо собі 2-кілометрову трасу, що складається з однієї симетричної гірки: кілометр вгору, кілометр вниз. Вгору по схилу я можу досить довго їхати зі швидкістю 10 км/год, а на спуску намагаюся тримати швидкість до 40 км/год (так, я обережний і їжджу в шоломі). Значить, на підйом я буду витрачати в чотири рази більше часу, ніж на спуск, і загальна картина буде така: 4/5 часу подорожі піде на тягучий підйом, і лише 1/5 — на приємний спуск. Виходить прикро — 80% часу прогулянки становлять складні ділянки дороги! Якщо я викочусь з нашого горбистого міста, у бік океану або в долину річки Авачі, гірок майже не буде, але в моєму розпорядженні залишаються зустрічний і попутний вітер, або ділянки з поганою дорогою.

Давайте поглянемо на закон велосипедиста з боку теорії ймовірності. Якщо я зроблю безліч селфі протягом своєї велопрогулянки, а потім буду діставати їх, не дивлячись, перемішаної з пачки, то значна частина картинок покаже мені фігуру в помаранчевому шоломі, смиренно повзуча вгору по схилу або проти вітру. Ймовірність побачити на знімку літаючого і сяючого велосипедиста, з рекламної картинки, на жаль, складе лише близько 20%. А що скаже статистика? Якщо ми випустимо на горбисту трасу великий натовп велосипедистів, почекаємо трохи, і постерігаємо за їх щільністю, то побачимо, як велика частина спортсменів товчеться на важких ділянках, і ймовірність виявити безтурботно усміхнене обличчя в загальній масі виявиться не так вже й велика!

Результат імітаційного моделювання руху ансамблю велосипедистів на горбистій трасі. Для кожного з учасників руху задана його потужність, вона визначає його граничну швидкість, як на підйомі, так і на спуску (враховується опір повітря). Видно, як незабаром після початку руху, на підйомах зосереджується більша частина всього ансамблю.

Давайте, як колись у школі, покажемо на графіку залежність переміщення велосипедиста від часу, при русі по симетричної трикутної гірці. Тільки зробимо все по-дорослому, у власних масштабах завдання: відстань будемо вимірювати не в кілометрах, а в частках спільного шляху, так само зробимо і з часом подорожі. Першу половину шляху велосипедист рухався повільно і довго —усього часу шляху, а другу подолав швидко.


Графік переміщення велосипедиста в частках від загального шляху і часу.

Існує один цілком універсальний спосіб судження про несправедливість цього світу, прийнятий у економетристів, демографів, екологів або маркетологів — крива Лоренца і пов’язаний з нею індекс Джині. Для відомого розподілу чого-небудь цінного, наприклад, грошей, до деякої популяції, можна, попередньо відсортувавши членів множини за зростанням рівня багатства, побудувати кумулятивну криву, нормуючи вісь X на чисельність популяції, а вісь Y — на загальний її добробут. Вийде крива, що носить ім’я американського економіста Макса Отто Лоренца. Коли ми будували графік переміщення велосипедиста, ми, по суті, побудували криву Лоренца для розподілу швидкостей по відрізках шляху, що складається всього з двох стовпців.


Розподіл швидкості велосипедиста по пройденому шляху.

Звичайно ж, не всякий графік переміщення можна сприймати, як криву Лоренца. Перед тим як її будувати, потрібно відсортувати періоди подорожі по зростанню швидкості, після чого приступати до побудови. Іншими словами, спочатку потрібно побудувати гістограму швидкостей, після чого послідовно складати вклади всіх стовпчиків гістограми, починаючи з вкладу малих значень, закінчуючи самими великими. Результатом повинна з’явитися всюди увігнута крива, яка проходить нижче діагоналі. Ця діагональ називається кривою рівності, вона, в нашому випадку, відповідає постійної (середньої) швидкості на всьому шляху, або гістограмі з одним єдиним стовпчиком (дельтообразной функції щільності імовірності). А в економічному сенсі — всезагальної рівності добробуту. Чим більше крива Лоренца відхиляється від кривої рівності, тим менше «справедливим» можна вважати розподіл. Коль скоро ми вивчаємо закони підлості і несправедливості нашого світу, розумно використовувати і термінологію та інструменти, використовувані для дослідження справедливості.

Площа під кривою Лоренца для будь-якого розподілу, відмінного від дельтаобразного, буде менше площі під кривою рівності. Їх різниця може бути формальною характеристикою нерівності або «несправедливості» розподілу. Цю характеристику відображає індекс Джині. Він обчислюється, як подвоєна площа фігури, утворена кривою рівності і кривою Лоренца. Для ідеального світу індекс Джині дорівнює 0, у найжахливішому варіанті він прагне до одиниці. У розглянутому нами прикладі він дорівнює 0.35. Це цілком непоганий показник. Скажімо, розподіл багатства серед населення в Росії зараз має індекс Джині 0.39, в США — 0.49, в Австрії і Швеції він не перевищує 0.3, а для всього Світу він у 2017 р. склав 0.66. Так що ситуація з велосипедистами, звичайно, образлива і несправедлива, але цілком терпима.

Ми розглядали розподіл швидкостей по відстані, а що буде, якщо нам дано розподіл швидкостей по часу (ділимо час шлях на інтервали і підраховуємо кількість інтервалів з тією чи іншою швидкістю). Завдяки безрозмірності діаграми Лоренца, ми знову зможемо зобразити відповідну криву, і навіть порівняти з попереднім результатом. Наприклад, нехай половину часу подорожі, скажімо, годину, велосипедист їхав зі швидкістю 10 км/год, а годину — зі швидкістю 40 км/год (при цьому не важливо, в якому порядку). Тоді на малу швидкість доведеться 1/5 всього шляху, а на більшу — 4/5. Крива Лоренца, у разі розподілу швидкості по часу, буде відображенням кривої Лоренца для розподілу швидкостей по відстані, щодо діагоналі, перпендикулярної лінії рівності. При цьому індекс Джині буде тим же, адже при відображенні кривої, площа під нею не зміниться. Так що за рівнем несправедливості ці дві різні умови, виявляються однаковими, хоча за відчуттями, другий випадок набагато приємніше!


Графік переміщення (крива Лоренца) велосипедиста у разі рівного часу прямування з двома різними швидкостями.

Зверніть увагу, за допомогою деякого формального індексу ми стали порівнювати абсолютно різні і не порівнювані речі, це одночасно і заманливо і небезпечно. Потрібно віддавати собі звіт в тому, що формальні індекси та критерії завжди чогось рівні, не залежно від того є в цьому сенс, чи ні. Ми порівнюємо розподіл багатства серед населення країн і розподіл часу витрачається на подолання шляху з точки зору відмінності від певного варіанта, який вважали б справедливим. Доки ми ведемо фривольні і, часом, хуліганські розмови про закони підлості, мабуть, це виправдане порівняння, але в математиці так, звичайно ж, робити не можна. Криву Лоренца, а за нею і індекс Джині можна формально розрахувати і для гістограми яскравості пікселів на зображенні або для частотності слів у живій мові, до справедливості це не буде мати ніякого відношення, та й сенсу залишиться зовсім небагато. Тому, маючи на увазі індекс Джині для чого попало, ми будемо його називати індексом підлості, щоб не вводити читача в оману наукообразністю термінів.

Висновок, який робить велосипедист, пихкаючи на зниженій передачі: «світ несправедливий і більшу частину сил забирає найбезглуздіша частина роботи», часто називають принципом Парето або принципом «80/20». Це абсолютна емпірика, принцип Парето ніхто не доводив, але його так часто цитують, що він вже справляє враження істини. Його використовують, як виправдання і як інструкцію, виявляють в самих різних проявах і іноді це працює, наприклад, принципом «80/20» відповідає індекс підлості близько 0.6 — як для розподілу багатства у всьому світі. Розуміючи, що це не підступи долі, а найпростіша математика, з якою боротися сенсу немає, можна навчитися отримувати задоволення і від затяжних підйомів і від нудних, але неминучих етапів роботи, хоча б, вирішуючи в розумі задачки, або медитуючи. Даоси прагнули жити вічно, і правильно розсудили, що разом з роботою над тілом, для досягнення їх мети, потрібна підготовка розуму. Адже для вічного життя потрібно не тільки уміння відпускати прихильності, але і терпіння, а також вміння отримувати задоволення від затяжних ділянок.

У принципу Парето є корисне для розуміння більш суворе узагальнення. Закон підлості, названий на честь невідомого велосипедиста, має офіційне наукове звання: парадокс інспекції. Це добре відоме явище зустрічається в самих різних дослідженнях, пов’язаних з соціологічними опитуваннями, тестуванням в теорії відмов (розділ прикладної математики, що займається надійністю складних систем), неявно, але систематично зміщуючи спостережувані результати в бік більш часто спостережуваних явищ.

Наведемо класичний приклад, з опитуванням пасажирів громадського транспорту. На лінії в день працює безліч автобусів, у відносно коротку годину пік автобуси переповнюються, а весь інший час вони ходять майже порожніми. Якщо ми будемо опитувати пасажирів, то значна їх частина виявиться саме в переповненому автобусі (там просто більше людей), і отримаємо вираз загального невдоволення. Якщо ж ми опитаємо водіїв, то вони поскаржаться на незаповненість значної частини маршрутів і нерозумність начальства, хлопчиська, який ганяє їх даремно. Гнучкий графік згладить ситуацію, але, в будь-якому випадку, крива Лоренца буде відхилятись від кривої рівності, відповідної неймовірної ситуації завжди однакового числа пасажирів у всіх автобусах.

На введеннях в теорію ймовірностей часто зустрічається спеціальний непрозорий мішок, в який математики складають різноманітні об’єкти, а потім навмання витягують, роблячи, часом, дуже глибокодумні висновки. Дозвіл парадоксу полягає в тому, що ми аналізуємо систему пасажиропотоку в цілому і кладемо в мішок автобуси, а проводячи опитування, ми дістаємо з нього навмання (інспектуємо) пасажирів, і за їх даними намагаємося робити висновки. Картинка показує в чому тут різниця:

Статистика по автобусам каже, що 75% з них вільні і їздять даремно. У той же час, опитування пасажирів виявить, що 64% пасажирів, які проїхали в цей день, опинилися в переповненому транспорті.

Давайте розглянемо цю ситуацію, побудувавши криву Лоренца, на цей раз, справжню, для кількості пасажирів в автобусах з попереднього малюнка. Для цього потрібно відсортувати автобуси з кількістю пасажирів і послідовно підсумувати внесок кожного з них у загальний пасажиропотік:


Крива Лоренца добре ілюструє спостережувану несправедливість ситуації з автобусами: половина автобусів возить лише п’яту частину пасажиропотоку.

Крива Лоренца, в даному випадку, як показує квантили розподілу числа елементів в деяких групах (горизонтальна вісь) зміщуються при аналізі розподілу елементів по належності до груп (вертикальна вісь). У цьому, власне, і полягає парадокс інспекції: картинка, яку спостерігає інспектор, виявляється спотвореною, адже він аналізує не групи, а елементи груп, а при цьому спостерігаються середнє значення і медіана зміщуються в бік більш вагомого хвоста» розподілу.

Сам по собі, наш закон велосипедиста дуже простий, але він то і діло буде посилювати інші закони підлості, додаючи їм похмуре емоційне забарвлення. Розмірковуючи про закони підлості, мені подобається думати про спотворення сприйняття світу інспектором в термінах зміни колірних кривих будь-якого зображення. В растрових графічних редакторах ми з допомогою інструменту «Криві» змінюємо картинки, зміщуючи розподіл кількості пікселів по яскравості. Ось, наприклад, як змінює сприйняття реальності крива Лоренца, отримана нами для автобусів. Картинка стає похмурішою, як ми очікуємо.


Крива Лоренца з прикладу, застосована в якості фільтра «Крива» в растровому графічному редакторі, робить видиму картину камчатського автобуса похмурішим. Нарікаючи на те, що автобуси «вічно запізнюються» і «вічно повні народу», тіштеся тим, що це всього лише ілюзія, пов’язана з парадоксом інспекції!

Ми зустрінемося з законом велосипедиста і його впливом ще не раз: стоячи в черзі або на автобусній зупинці, спостерігаючи несправедливість розподілу багатства. А криві Лоренца і індекс підлості дозволять нам сміливо порівнювати між собою обурливо різні речі. Математика — точна наука, але ніхто не забороняє математикам хуліганити. В своєму, звичайно, колі і без бійок.

Related Articles

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Close