Розробка

Теорія щастя. Закон зебри і чужої черги

Продовжую знайомити читачів з главами книжки «Теорія щастя» з підзаголовком «Математичні основи законів підлості». Це ще не видана науково-популярна книжка, дуже неформально розповідає про те, як математика дозволяє з нової ступенем усвідомленості поглянути на світ і життя людей. Вона для тих кому цікава наука і для тих, кому цікаве життя. А оскільки життя наше складна і, за великим рахунком, непередбачувана, упор в книжці робиться, в основному, на теорію ймовірностей і математичну статистику. Тут не доводяться теореми і не даються основи науки, це ні в якому разі не підручник, а те, що називається recreational science. Але саме такий майже ігровий підхід дозволяє розвинути інтуїцію, прикрасити яскравими прикладами лекції для студентів і, нарешті, пояснити нематематикам і нашим дітям, що ж такого цікавого ми знайшли в своїй сухий науці.

Опубліковані голови:
• Введення в мерфологію
• Закон кавунової кірки і нормальність ненормальності

 

Ми поговоримо про закон зебри, землетруси, черги і чудові процеси: пуасонівського потоку, випадковоме блукання і трохи про ланцюги Маркова.

Закон зебри

Кажуть, що життя схоже на зебру: то біла смуга, чорна… А ще буває, що до однієї неприємності додається інша, і так непросто в житті, а тут ще кішка почала народжувати! То густо, то пусто! Одне одному! Але найсумніше, що коли добре і в житті настала світла смуга, думки закрадаються нехороші: ох, не наврочити б, ох, чи не доведеться за щастя розплачуватися… Знайоме відчуття? З цього приводу сформульовано один із законів мерфології — другий закон Чизхолма: “Коли справи йдуть добре, щось повинно трапитися в найближчому майбутньому”. Але так як Френсіс Чизхолм, у своїй оригінальній роботі не дає детального аналізу або докази цього закону, ми постараємося самі з’ясувати криється за цим якась закономірність, або нам так тільки здається. А якщо це примхи математики, то можна визначити характерну тривалість та частоту смужок на тілі нашої зебри, і від чого вона залежить?

В житті то й справа відбуваються події. Іноді вони зовсім не пов’язані один з одним, іноді утворюють ланцюжки причинно-наслідкових зв’язків. Міркування про ці зв’язки, ланцюжках і зумовленості життєвого шляху можуть повести нас дуже далеко, і ми про них поговоримо пізніше. А поки давайте спробуємо, як завжди, обійтися найменшою кількістю вихідних даних для аналізу нашого закону. Розглянемо послідовність ніяк не пов’язаних між собою подій, і подивимося, що вдасться з неї добути.

Події, які ніяк не пов’язані між собою і відбуваються в часі випадковим чином описуються з допомогою добре відомого пуассонівського потоку. Він відповідає багатьом випадковим явищам від землетрусів до появи покупців в магазині. Пуассонівський потік подій характеризується інтенсивністю або щільністю потоку — параметром, який визначає очікуване число подій в одиницю часу. Наприклад, при вимірюванні часу в днях, значенню параметра  буде відповідати ланцюжок випадкових подій, в середньому, трапляються раз в тиждень. Це зовсім не означає, що події будуть відбуватися з частотою раз в тиждень. Ніякої виділеної частоти у послідовності подій може і не бути зовсім. Найкраще уявляти собі пуассонівський потік з інтенсивністю раз в тиждень так: у році 52 тижні, значить, в рік має відбутися близько 52 подій (в середньому за багато років). Якщо ми виберемо 52 випадкових рівномірно розподілених дати в році, то їх можна розглядати, як моменти виникнення абсолютно незалежних пуассоновских подій.


Приклад побудови пуассонівського потоку з інтенсивністю 1/7 (час вимірюється в днях). На відрізку в 365 днів випадковим чином розкидали ніяк не пов’язані між собою 52 події.

При цьому про який-небудь періодичності в цих подіях не йдеться, коли побажають, тоді й трапляться. Але і в цьому безладі статистика може нам показати певні закономірності. Наприклад, розподіл тривалості періодів між подіями, показаними на попередньому малюнку, буде зовсім не рівномірним.


Щільність розподілу тривалостей проміжків між 52 подіями, випадково розкиданими по відрізку в 365 днів.

Розподіл тривалостей проміжків прагне бути експоненціальним, це показано суцільною лінією. У цього розподілу максимум (мода) знаходиться в нулі, а середнє значення, так само як раз 7 днів. Більш того, стандартне відхилення теж буде дорівнювати 7 днів. Рівність стандартного відхилення середнього значення — характерна властивість експоненціального розподілу. Як бачите, ці характеристики зовсім не гарантують того, що між подіями буде проходити один тиждень, в середньому — так, але найчастіше — менше, до того ж, можуть спостерігатися і досить довгі проміжки. Нарешті, медіана показує, що половина всіх проміжків буде мати тривалість не перевищуючу 5 днів. Інтенсивність і частота зовсім не одне і теж, це дуже важливе зауваження!

Для справедливості, покладемо, що хороші і погані події відбуваються рівноймовірно, але яскраві і значущі події трапляються значно рідше дрібних і незначних. Нехай це буде нормальне життя, в якому емоційне забарвлення подій підпорядковується нормальному (гауссовому) розподілу. Ось як може виглядати рік синтетичної долі, як низки випадкових абсолютно незалежних життєвих перипетій:

Низка подій різного емоційного забарвлення, що утворює пуассонівський потік з інтенсивністю 2/7 (2 події в 7 днів).

Поки ніяких смуг не спостерігається, натомість є якийсь шум. Кожна подія проходить безслідно, нічого не залишаючи ні в пам’яті, ні в настрої. Так не буває, давайте наділим нашого модельного героя пам’яттю, для початку, ідеальною. Кожна подія нехай назавжди вріжеться йому в пам’ять і настрій, відповідно, або покращуючи або погіршуючи його. Ось яку картинку ми можемо отримати, поспостерігавши за долею нашого героя протягом десяти років.

Події, зливаючись в пам’яті, утворюють емоційне забарвлення «синтетичного життя».

Ну, що ж, ми вже бачимо якесь чергування настроїв, але картинка вийшла не дуже радісною. Наш герой після низки змін настрою впав у глибоку депресію. Шкода. Спробуємо ще кілька разів. Всі вони відчувають низку світлих і темних смуг, але надовго грузнуть або в безпросвітній нужді, або в позамежному щасті. Так буває, звичайно, але це явно ненормально.

Кілька прикладів «синтетичних доль» людей з ідеальною пам’яттю.

Relax, dude!

Наші модельні долі ми описали дуже примітним процесом, він називається одновимірним випадковим блуканням і має ряд незвичайних властивостей, серед яких — самоподібність, тобто відсутність будь-якого характерного часового масштабу. Крім того, отримавши в своє розпорядження необмежений час, випадкове блукання здатне відвести необмежено далеко, і більше того, воно обов’язково поведе вас на будь-який наперед заданий відстань про початкового значення! Таким чином, якими б не були хорошими ваші справи, якщо вони підпорядковані випадковому блуканню, вони обов’язково скотяться до нуля і підуть нижче, це просто питання часу! Цей відомий і повчальний життєвий закон, що отримав ім’я прокляття гравця і його суть можна висловити простий максимою: Оптимальна стратегія в азартних іграх — володіти казино, в іншому випадку, ви програєте. Ми не будемо детально зупинятися на цьому, вже боляче відомому результаті, однак це властивість одновимірного випадкового блукання нам ще зустрінеться.

Схоже, ідеальна емоційна пам’ять-це не дуже добре. Наші герої не забувають нічого і ретельно зберігають у пам’яті все, навіть самі давні події! На їх настрої в старості впливає горе від поламаної іграшки в дитинстві або радість від поцілунку в юності. Причому всі наступні поцілунки та іграшки мають для них таку ж важливість. Треба цих бідолах рятувати. Емоції з часом стихають, горе притупляється, радість, на жаль, теж. Забування, багато в чому, подібно охолодженню, дифузії або уповільнення руху в’язкої рідини, тому розумно змоделювати його подібним чином. Перераховані процеси називаються процесами релаксації. Наделим ж і наших бідолах здатність до релаксації!

Релаксуюча система повертається до рівноважного стану, причому тим швидше, чим більше відхилення від рівноваги. Це властивість можна змоделювати геометричною прогресією, або експоненціальним законом. Введемо в нашу модель новий параметр — швидкість забування. Його можна виразити через час (в відлік нашої моделі), за який рівень емоції зменшиться досить сильно.

Обмеження пам’яті призводить до того, що низка подій і їх слідів в пам’яті зливаючись, утворюють низку емоційно забарвлених смуг.

Змінюючи «ступінь забудькуватості», ми можемо отримати більш або менш емоційно врівноважених піддослідних. Здається, ми знайшли джерело зеброобразності! Це, по-перше, випадкові блукання, схильні до розповзання на всі боки, і, по-друге, цілюща забудькуватість, повертає настрій в норму. Результатом є хвилеподібний меандрування настрою.

Давайте вивчимо властивості отриманих нами «синтетичних» життєвих смуг. Побудуємо гістограму, яка показує розподіл їх тривалостей для довжелезного життя (або для безлічі звичайних).

Розподіл тривалостей періодів щастя і горя для великої кількості синтетичних доль. Вертикальною лінією відмічено середнє значення, рівне 33.

Перше, що кидається в очі — максимум розподілу (мода) знаходиться поблизу нуля, значить, найчастіше періоди щастя і нещастя дуже короткі, проте, зустрічаються і періоди тривалістю більше року. У середньому, тривалість періодів складає 33 дні, зі стандартним відхиленням в 36 днів. Це розподіл близько до експоненціального (насправді воно непогано описується більш загальним гамма-розподілом з такими параметрами, які наближають його до експоненціального). У свою чергу, експоненційний розподіл тривалостей смуг в житті означає, що зміни настроїв можна розглядати, як пуассонівський потік, тобто, як ланцюжок незалежних випадкових подій, які не мають вибраної частоти, але трапляються з деякою певною інтенсивністю. Наприклад, в розглянутому нами прикладі темні і світлі смуги змінюються з інтенсивністю раз на 33 дні, але при цьому, найбільше в житті спостерігається коротких періодів: половина їх не довше десяти днів.

У разі відсутності «пам’яті» , розподіл перестає бути експоненціально спадним і стає повільним.
Розподіл тривалостей меандрів для випадкового блукання має характер степеневого розподілу.

Статистики говорять, що у таких розподілів важкий хвіст, робить цілком імовірними дуже великі відхилення від середнього значення, ми спостерігали їх у вигляді довгих “занурень” – по іншому настрій. У отриманого нами розподілу є одна, незвична і дивна властивість — для нього не визначені ні середнє значення (математичне очікування, стандартне відхилення, ні медіана. Справа в тому, що всі ці характеристики обчислюються виходячи з площі під кривою щільності розподілу, а вона нескінченна. У зв’язку з цим, можна почути, що середнє значення в такому випадку нескінченно, але це не так. Подивіться, що станеться при спробі обчислити середнє значення тривалості меандрів випадкового блукання:

Спроба обчислити середнє значення для послідовності тривалостей періодів між змінами настрою при відсутності пам’яті. З’являються екстремальні значення важкого хвоста розподілу призводять до того, що значення середнього не сходиться до якого-небудь значення.

Величезні стрибки, які відбуваються з важкого хвоста то і справа збивають значення середнього і послідовність усереднень не сходиться ні до якоїсь межі. Значення середньої зовсім не нескінченно, просто інтеграл не сходиться ні до якого числа і про якесь конкретне значення говорити не можна. Саме в неможливості обчислити середнє значення тривалості меандрів відображається властивість самоподібності випадкового блукання, а саме відсутність будь-якого власного масштабу часу.

Ми моделювали пристосованість до життєвих негараздів за допомогою релаксації, або загасання емоційних сплесків. Можна витлумачити цей процес іншим чином, як пристосованість людини до життєвих обставин. При обробці зашумлених сигналів або послідовностей часто для згладжування і виділення корисного сигналу використовують метод ковзного середнього, розглядаючи в кожен момент не сам сигнал, а усереднене значення сигналу в певний проміжок часу. Таким чином вдається позбутися від шуму і отримати уявлення про довготривалі тенденції сигналу. Застосовуючи таке усереднення до життєвих негараздів, ми можемо моделювати пристосованість людини. І під час воєн люди закохуються і знаходять привід для радості, так само як не безхмарне життя багатих нероб. Зміщується норма, від якої настрій відхиляється в ту або іншу сторону. Розглядаючи різницю між послідовність емоцій і згладженої лінією фону, ми отримаємо таку ж картину, смуг, яку дала нам попередня модель, з тими ж статистичними характеристиками. Це не дивно, адже концептуально вони практично не відрізняються, описуючи систему з релаксацією.

Меандрування і зміну настроїв можна отримати, моделюючи ковзним середнім пристосованість людини до обставин.

Пов’язані одним ланцюгом

У розглянутих моделях ми отримували пуассонівський потік зміни настроїв, генеруючи події пуассонівським потоком. У цьому можна угледіти деяку підтасовування — пуассонівський випадковий процес виявився «вшитий» в модель. Наскільки при цьому універсальний наш результат? Чи можна отримати його як-небудь по-іншому?

Життєвий досвід — штука погано формалізуюча, і його можна підігнати під різні математичні інструменти, допускаючи не тільки спрощування припущення, але й спекуляції. У науці такий підхід неприпустимий, але в нашій подорожі за методами теорії випадкових процесів, ми можемо дозволити собі пограти з ними, щоб познайомитися краще.

Спостерігаючи за динамікою настрою і світосприйняття можна помітити, що людині властиво «залипати» в певному настрої. Якщо справи йдуть в цілому добре, то і погана новина може бути сприйнята з оптимізмом. І, навпаки, меланхолійний настрій, одного разу поглинувший людину, здатна зіпсувати навіть радісна звістка. З математичної точки зору це означає, що ймовірність залишитися в поточному настрої більше ймовірності його змінити. Таку поведінку можна описати за допомогою випадкового процесу, званого ланцюгом Маркова. У загальному випадку, марковська ланцюг може бути представлена, як фіксований набір станів з переходами між ними, причому, переходи з стану в стан мають різну але відому ймовірність. Такі ланцюги зручно представляти у вигляді зважених графів, наприклад, елементарний симетричний марковський ланцюг описує динаміку настрою може бути поданий таким чином:


Ланцюг Маркова з двома станами («радісний» і «сумний»). Стрілки позначають переходи і ймовірності цих переходів. У нашому симетричному випадку ймовірність залишитися в існуючому настрої перевищує ймовірність його зміни, але не залежить від самого настрою.

Наша ланцюг здатний генерувати послідовності станів і, звичайно ж, в ній з’являться смуги життєвої зебри.

Найбільш цікаве, з’ясувати якому розподілу будуть підкорятися тривалості цих смуг. Для нашої більш ніж простої моделі відповідь можна отримати точну — це геометричний розподіл, що описує ймовірність спостерігати задану кількість випробувань випадкового експерименту до спостереження першого «успіху».

Гістограма для тривалостей періодів однакових настроїв в послідовності, генерованої симетричним ланцюгом Маркова і функція ймовірності геометричного розподілу з параметром рівному ймовірності переходу між станами. Послідовність має тривалість в десять років.

Геометричний розподіл є дискретним аналогом експоненційного розподілу, в тому сенсі, що йому підпорядковуються округлені значення експоненціально розподіленої випадкової величини. Існує зв’язок між параметром геометричного розподілу та інтенсивністю відповідного експоненціального розподілу. Таким чином, ми знову отримуємо пуассонівський потік змін настрою.

Якщо ми порушимо симетрію ланцюга, то зможемо описати «оптиміста або песиміста», охочіше «залипаючого» в тому чи іншому настрої. Розподіл тривалостей смуг при цьому відхилиться від геометричного, але при цьому, все одно, велика частина смуг буде короткою. і який-небудь виділеної періодичності спостерігатися не буде.


Гістограма для тривалостей періодів постійного настрою в послідовності, генерованої асиметрії ланцюгом Маркова. Послідовність має тривалість в десять років.

Ланцюги Маркова — це потужний інструмент аналізу випадкових процесів, в яких криється певний алгоритм або сценарій. Вони дають нам своєрідний погляд на процеси, які прийнято вважати циклічними. Наприклад відома максима: «історія людства ходить по колу» часто трактується як те, що в історії існують певні цикли або навіть періодичності. Доводиться чути, наприклад, про те, що початок століття обіцяє потрясіння та війни. Ризикуючи забратися не в свою тему, візьму на себе сміливість припустити, що насправді має сенс говорити не про буквальні цикли, а про більш або менш стійкі сценарії — закономірні ланцюжки, які можна описати ланцюгом Маркова. Серед марковських ланцюгів є клас циклічних ланцюгів, які, насправді, здатні створювати повторювані послідовності. Однак справжньої детерміністичної періодичності в їхній поведінці немає. Випадково виникаючи в різні історичні періоди і в різних контекстах такі цикли схожі один на одного, і можуть створити відчуття історичного «дежавю». Вивчати та описувати їх корисно, але очікувати суворого календарного плану, мабуть, не варто.

На цьому ми закриємо тему зебри. Які висновки можна зробити з нашого несерйозного дослідження? Чергування світлих і темних смуг в житті не ілюзія, вони є насправді. Але у них немає особливих закономірностей. Найчастіше вони короткі, але бувають і затяжними. Все залежить від легкості характеру і здібності відпускати минуле. Більш того, якщо події в житті будуть траплятися рідко, то життя стане сірою низкою зникаючих в минулому спогадів. Так що в наших інтересах запам’ятовувати прожите, і в наших силах зробити так, щоб життя не ставала випадковим блуканням. Ми можемо зробити так, щоб хороших подій ставало більше і відбувалися вони частіше, нехай навіть вони будуть незначними. Лижна прогулянка, щира посмішка перехожого, квиток на концерт, чашка гарячого шоколаду в холодний день, все це допоможе створювати позитивний тренд і продовжить світлу смугу в житті. Щоправда, слідом за трендом потягнеться і середнє значення, тому що неминучі сумні події обов’язково змінять настрій. Але не треба звинувачувати в цьому своє щастя. Це не розплата за нього, і не пристріт. Це властивість релаксуючих систем — схильність до коливань при стохастичному зовнішньому впливі.

Про очікування автобуса або землетрусу

Відмінність між частотою (періодом) та інтенсивністю потоку подій досить важливо розуміти, слухаючи або читаючи новини результати наукових досліджень. Наприклад, на сьогоднішній день, сейсмологи, на жаль, не можуть передбачити конкретно землетрус: його час, місце і силу. Зате напрацьовані методики довгострокового сейсмічного прогнозу для якогось регіону, але їх результати формулюються мовою теорії ймовірностей, і що з ними робити не завжди очевидно.

Наприклад, для Авачинської затоки, на берегах якого розташований Петропавловськ-Камчатський в 2018 році дано такий прогноз: «Сумарна ймовірність землетрусів з магнітудою більше 7.7, які можуть мати силу 7-9 балів р. в Петропавловськ-Камчатський, може досягати на наступне п’ятиріччя 52.3%.» Що це означає? Завтра трусне? А коли? А де? На жаль на такі прямі питання ми відповісти поки не в силах. Точна інтерпретація цього повідомлення така: інтенсивність сейсмічного потоку зараз така, що в найближчі 500 років відбудеться приблизно 52 землетруси (за умови незмінності потоку). Причому, через місяць прогноз може змінитися. Інтенсивність схожа, в якомусь сенсі, на миттєву швидкість руху: щоб виміряти, що ви рухаєтеся із швидкістю 60 км/год не обов’язково їхати цілу годину всі 60 км. І, найголовніше, даний вченими прогноз не говорить про те, що між землетрусами минає десять років, як можна припустити, розділивши 500 років на 52 події. Таким чином, якщо протягом десяти років не було сильних землетрусів, то це не значить, що він відбудеться не сьогодні-завтра. Він відбудеться, звичайно, але скільки саме доведеться чекати, невідомо.

Подивіться на те, як змінюється рівень сейсмічної активності Камчатського регіону на різних масштабах часу (зображення взято з сайту Монітора сейсмічної активності Камчатського філії Єдиної геофізичної служби РАН)


На зміну зниження рівня активності приходить підвищений, активність «дихає», але не періодично, а подібно все того ж випадкового блукання з релаксацією.

Але землетруси, все ж, неприємні явища і хай би їх не траплялося якомога довше. Бувають речі, яких чекаєш з нетерпінням, наприклад, автобус. Прийшовши на зупинку, ми, звичайно, бажаємо миттєво сісти на потрібний маршрут автобуса або трамвая, але, швидше за все, це не вдається. Тоді, якщо в цьому місці діє чіткий розклад, ми дивимося на нього, потім на годинник, а потім занурюємося в книжку або телефон. Але часто, в середині маршруту, замість розкладу зазначається інтервал руху транспорту, наприклад, 15 хвилин. Це означає, що ми вже далеко від автостанції, з якої автобуси виходять точно за розкладом, і накопичується деяка помилка, що робить прибуття автобуса випадковим. Ну, 15, 15, почекаємо. І ось тут треба мати на увазі, що в середньому доведеться чекати саме 15 хвилин, незалежно від того, коли ви приходите. От якби автобуси приходили з періодичністю 15 хвилин, середній час очікування склало б половину періоду — 7,5 хвилин, але з інтенсивністю так не вийде! При відсутності додаткових умов, рух транспорту, моделюють пуассонівським потоком, а це значить, що час очікування автобуса буде підкорятися експоненціальним законом з тією ж інтенсивністю. І що зовсім прикро — то скільки часу ви вже провели на зупинці ніяк не впливає на ймовірність того, що автобус ось-ось підійде. Це працює така властивість експоненційного розподілу, як відсутність пам’яті, пов’язане з незалежністю пуассонівських подій.

Підіб’ємо підсумок. Прийшовши на зупинку, потрібно чітко прийняти рішення: чекати, або йти пішки, а роздумувати на тему: почекати ще або піти пішки — тільки прирікати себе на зустріч із законом підлості. Бо коли ви, прочекавши вже 17 хвилин, плюнули і пішли пішки, вас вельми ймовірно обжене довгоочікуваний автобус, а то і два. Ну, і щоб очікування автобуса перетворилося в нудне і безнадійне змагання з долею, згадаємо про прокляття велосипедиста з попередньої глави, ефективно збільшуюче спостережуваний час очікування.


Цікаво, що крива Лоренца для експоненціального розподілу однакова для будь-яких інтенсивностей. Таким чином, для всіх пуассонівских процесів вірне твердження: половина загального часу спостереження припадає на 20% випадків, коли ця чергова подія затримується. Коефіцієнт Джині для експоненціального розподілу дорівнює в точності 1/2.

Чужа черга

Я розмірковую про закони підлості, стоячи в аеропорту в черзі на реєстрацію пасажирів та оформлення багажу. Черга довга, люди різні і помітні з усіма своїми сумками, дітьми або клітками. Ззаду чую бурчання: «Як зазвичай, наша чергу гальмує. Он, дивись, той вусатий у кепці нарівні з нами стояв а тепер он де… От же закон підлості! Завжди саме моя черга повільна!» Цей закон називається спостереженням Етторе: «Сусідня черга завжди рухається швидше.»
Існує ціла галузь теорії управління і теорії випадкових процесів, яка займається динамікою черг. Це важливо для проектування магазинів і залів очікування, оптимального управління операційним залом в банку, воротами на платну автостраду і документообігом. І відправною точкою для моделювання черги служить все той же пуассонівський потік, оскільки для нього потрібно мінімум додаткових припущень. Таким чином, переміщення того, хто стоїть у черзі буде мати вигляд монотонно зростаючою ступінчастою лінією, з однаковими кроками, які трапляються через випадкові проміжки часу. Накопичення даних таким чином, називається пуассонівським процесом.

Ось так можуть рухатися дві довгі черги:

Переміщення двох сусідніх черг, як пуассоновских процесів з однаковою інтенсивністю.

У свою чергу, різниця двох однакових пуассонівских процесів, а саме її спостерігає людина нудьгуюча в хвості, являє собою своєрідне випадкове блукання. А раз так, то ми готові зробити деякі висновки. Перший: відстань між одночасно ставшими в однакові черзі людьми буде то збільшуватись, то зменшуватись, при цьому будуть утворюватися характерні меандри з постійно мінливою тривалістю. Другий висновок: за самоподібності випадкового блукання і для коротких черг та для довгих, меандри будуть мати тривалість, порівнянну з часом стояння в черзі, а значить, вони будуть помітні, а меандри — це вже привід для невдоволення. Третій висновок: заздалегідь невідомо яка черга пройде швидше, адже випадкове блукання рівноймовірно йде як вгору, так і вниз. І, нарешті, четвертий висновок: черги рухаються незалежно, то і справа випереджаючи і наганяючи один одного, в середньому, вони рухаються однаково, і очікувана різниця між ними прагне до нуля, але розкид навколо середнього з часом зростає (в описаному нами випадку, величина відставання однієї черги від іншої підпорядковується розподілу Скеллама). Виходить, або вгадав з швидкою чергою чи ні — жодних підлих штучок з боку лиходійки долі!

Але закони підлості не називалися б законами, якщо б не претендували на універсальність. Якщо нам не пощастило опинитися в відстаючій черзі, то ми в ній проведемо більше часу і у нас буде більше можливостей поскаржитися на долю! А тепер, увага, хороші новини: у будь-який вибраний інтервал часу тих, кому пощастить потрапити в швидку чергу більше ніж невдахам, адже швидка черга може пропустити більше людей! Але, на жаль, це зовсім не втішить того, хто застряг у черзі.

Related Articles

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Close